Te melyiket választanád: (1) minden nap kapsz 100 ezer forintot 30 napig vagy (2) az első nap kapsz 10 fillért, a másodikon 20 fillért, és így tovább 30 napig (azaz minden napi kifizetés az előző napi kétszerese)? A válasz a cikk végén, addig is pedig egy kis atlétikai kitérő.
Eleinte az oxigénhiányos állapotomra fogtam a dolgot. Sehogy sem akar kijönni a matek – gondolkodtam lihegve a futópadon, és nem értettem a dolgot. A futást 10 km/h-s sebességgel kezdtem, nem volt nehéz fejben kiszámolnom, hogy ezzel a tempóval 1 km megtételéhez 6 percre lesz szükségem. Azt is tudtam, hogy ha a futópad sebességét 12 km/h-ra emelem, akkor már csak 5 perc lesz a következő ezer méter megtétele. Legyen csak egyelőre félúton, 11 km/h-n a tempó, gondoltam magamban, és vártam, hogy akkor a futóidő is a korábbi fejben kiszámolt két korábbi érték közé fog esni, 5:30 percre. Aztán lefutottam 1 km-t, és az óra 5:27-et mutatott. Hova lett az a mintegy 3 mp? Ennyire jól azért nem futok...
Amit akkor és ott nem értettem, az befektetőként is az egyik legnagyobb fejtörést okozó jellemzője környezetünknek: agyunk lineárisan gondolkodik egy sokszor nem-lineáris világban. A lineárisan változó dolgokat könnyedén, intuitív módon felfogjuk, ha valami viszont nem-lineáris, az nehezen megérthető. Ha egy recept szerint 1 kg pogácsához 60 dkg liszt kell, akkor nem kerül erőfeszítésünkbe kiszámolni, hogy ha 2 kg pogácsát akarunk sütni, akkor 120 dkg lisztre lesz szükségünk. Egy nem-lineáris világ szakácskönyve viszont nem 120, hanem mondjuk csak 95 dkg-ot javasolna kétszeres mennyiséghez. Ha ezt olvasnánk, először csak állnánk bambán, mint egyszeri gyerek a futópadon. Valahogy így jártam én is: amit én ugyanis fejben lineárisan számoltam, az valójában egy -1-edik kitevőjű hatványfüggvény. Márpedig az nem-lineáris.
A különféle girbegurba vonalak és a nem-lineáris rendszerek az élet minden területén körülvesznek minket (nagyszerű könyv erről). Nem csupán a futási sebesség és a kilométerenkénti idő kapcsolatát bemutató ábrán látunk ilyet, nem csupán a globális felmelegedés szempontjából kiemelt jelentőségű, hogy mikor lépünk át a nem-linearitásból fakadó visszafordíthatatlan kritikus pontokat. Mindez a pénzügyi életben is központi kérdés, hiszen a kamatos kamat is nem-lineáris kapcsolatot tükröz. Akár igaz, akár nem, hogy Einstein a kamatos kamatot a világ nyolcadik csodájának nevezte, az biztos, hogy a vagyonnövekedés és a befektetési idő közötti nem-lineáris kapcsolatnál jobb barátunk megtakarítóként nincsen.
Az ilyen függvények fura lények: bizonyos szakaszokon nehéz különbséget tenni a lineáris és a nem-lineáris kapcsolatok között (lásd piros és kék vonalak egymás mellett mozgó részeit). Hosszabb távon aztán persze a két vonal elszakad egymástól, és felüti a fejét a nem-linearitás. Ami rövidtávon hasonló, hosszú távon drasztikusan eltérő lehet. Ezért is van, hogy a kamatos kamat áldásos hatását is csak azok élvezhetik igazán, akik valóban hosszú távon takarítanak meg: rövidtávon a kamatos kamat sem sokat számít, hosszú távon ugyanakkor szinte tényleg mindent elsöpör.
A lecke persze ősi, ahogy arról az ezeréves perzsa eposz, a Sáhnáme is tanúskodik. Az eposzban szereplő történet szerint az uralkodó a sakk indiai feltalálóját kívánja bőkezűen megjutalmazni. A feltaláló kérése szerény volt: a sakktábla első négyzetére egy szem rizst kért, a másodikra kettőt, a harmadikra négyet, és így tovább, minden újabb mezőre a korábbi mezőn szereplő rizs darabszám kétszeresét. A nem-lineáris növekedéssel tisztában nem lévő uralkodó könnyedén bólintott rá az ajánlatra, és csak akkor lepődött meg, amikor a kincstárnokai közölték, ígérete teljesítéséhez birodalmának összes kincse sem lenne elegendő. Az utolsó, 64. mezőért járó 263-on szem rizs ugyanis önmagában mintegy 300 milliárd tonna.
A világ tehát sok esetben nem lineáris, a pénzügyi és megtakarítási döntések területe pedig különösen nem az. Legyünk is bármennyire jó barátságban a számokkal, sok kérdésre helytelen választ kapnánk azokkal az egyszerű összeadásokkal és szorzásokkal, melyeket ösztönösen használnánk. Tranzakciós díjak, a befektetéseinkre terhelt költségek mértéke, adókedvezmények kihasználása, rendszeres megtakarítások – olyan területek, ahol a kamatos kamat hatása évek alatt mindent felnagyít. Mind olyan dolgok, melyek rövidtávon keveset számítanak, hosszú távon viszont sokat érhetnek.
Hogy ezeket megértsük, néha tényleg hatványfüggvényt és exponenciális növekedéseket kell számolnunk. Ahhoz pedig bizony le kell szállnunk a futópadról, és le kell ülnünk az excel elé.
---------------------------------
A válasz: az (1) verzió végén 3 millió forintod lenne, a (2) esetben pedig több mint 107 millió. Hogy mennyire a hosszú táv számít: 100 ezer forintnál nagyobb összeget a (2) verzió esetében először a 21. napon kapnál. A 30. napon pedig a matematikai törvényszerűségek alapján egy nap alatt több pénz ütné a markodat, mint a megelőző 29 napban összesen (több mint 53 millió forint). Ment volna a számolás fejben?
